Se colocan tres sombreros, que pueden ser blancos o negros, a tres personas. Cada una no sabe de qué color es su sombrero, pero sí ve el de los demás. Al comienzo, se les dice que hay al menos un sombrero blanco. Si les preguntas, ¿alguien sabe de qué color es su sombrero? Dirán que no. Si lo preguntas otra vez, te volverán a decir que no. Pero a la tercera vez que se lo preguntes, todas lo sabrán. Pues bien, ¿de qué color son sus sombreros?
Este famoso acertijo sirve para ilustrar el concepto de certeza común. Algo es certeza común para varias personas cuando es cierto para ellas, pero además es cierto para ellas que es cierto para el resto, es cierto para todas que es cierto para todas que es cierto para todas, y así sucesivamente. Con los sombreros, la certeza común de partida es que hay al menos un sombrero blanco.
Tras la primera ronda de respuestas, las personas pasan a tener la certeza común de que al menos hay dos sombreros blancos; si hubiera solo uno, la que ve dos sombreros negros habría sabido responder a la pregunta. Tras la segunda ronda, la certeza común es que todos los sombreros son blancos, pues, si alguien hubiera visto un sombrero blanco y uno negro, sabría que el suyo es blanco.
Como demostró Robert Aumann (y le valió un Nobel de Economía), la certeza común nos ayuda a resolver los desacuerdos. En su famoso teorema del acuerdo, dos personas parten de las mismas creencias, después, cada una adquiere información privada y, basándose en ella, hace una apuesta sobre un evento. El teorema expone que, si las apuestas son certeza común, entonces son iguales.
Las apuestas se corresponden con la probabilidad que asignamos a que suceda algo –si creemos que es muy probable, apostaremos más–, por lo que el teorema del acuerdo dice que, si había desacuerdo sobre la probabilidad de un evento, pero ese desacuerdo se convierte en certeza común, todo el mundo acaba poniéndose de acuerdo.
Está claro que, en la vida real, muchas veces no se dan las circunstancias para que se cumpla este teorema. No siempre se parte de la misma información, ni se revisan las apuestas cuando son certeza común y, sobre todo, las personas no siempre son totalmente racionales al decidir cuánto apostar. Pero el teorema del acuerdo sirve para dotar de coherencia interna a cualquier sistema donde se pueda interactuar de manera racional. Es un teorema clave en economía.
Sin embargo, si consideramos sistemas cuánticos la situación podría ser otra: incluso partiendo de la misma información y teniendo certeza común, ¿podríamos mantenernos en el desacuerdo? Los objetos cuánticos parecen diferentes según cómo se miren. Por ejemplo, las partículas pueden estar entrelazadas de forma que, si sabes algo sobre una partícula, las propiedades de las demás se ven alteradas. En este tipo de situaciones, ¿cómo podríamos llegar a un consenso? ¿Se sigue cumpliendo el teorema del acuerdo?
Afortunadamente sí, según se demuestra en un reciente resultado. Aunque la teoría cuántica es famosa por crear conflictos con nuestra intuición, mantiene la coherencia interna dada por el teorema del acuerdo. Partiendo de la misma información y teniendo certeza común, sigue siendo posible llegar a un acuerdo, incluso si el entrelazamiento está en la base de las comunicaciones empleadas. Esto puede ser relevante en un futuro no muy lejano, en el que las partículas entrelazadas sean un apoyo para nuestras comunicaciones y nuestras finanzas.
Además, en el trabajo anteriormente mencionado, se propone considerar el teorema del acuerdo como un principio físico. Así, si en un futuro desarrolláramos una nueva teoría que supere a la cuántica en cuanto a capacidad de explicar el mundo en el que vivimos, pero no cumple el teorema del acuerdo, en el trabajo se argumenta que deberíamos descartarla. De esta manera, nos aseguraríamos de que cualquier teoría que diéramos por válida cumpliría este teorema, y, por tanto, tendría coherencia interna.
Este principio se suma a otros muchos que ya se han propuesto con el mismo objetivo: rechazar teorías que no los cumplan. Quizá, algún día, completemos la lista y veamos que la teoría cuántica es la única que cumple todos los principios. Si lo logramos, habremos dado con la mejor descripción posible de la naturaleza.
Patricia Contreras Tejada es doctora en tecnologías cuánticas y divulgadora científica.
Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.
Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).
La nota precedente contiene información del siguiente origen y de nuestra área de redacción.
