En la famosa serie televisiva Juego de tronos, las diferentes casas nobiliarias en el continente llamado Poniente luchan por gobernar los siete reinos que conforman el territorio. Para ello, establecen relaciones de alianza y enemistad con las otras casas. Si tres casas forman una triple alianza constituyen un sistema estable, ya que no hay tensiones entre sus componentes. Sin embargo, ¿qué pasa con la estabilidad de los sistemas en los que dos casas aliadas no coinciden en la consideración de una tercera. Para una es amiga y para otra enemiga?.
Frank Harary
Para estudiar este tipo de sistemas, Frank Harary formalizó el concepto matemático de balance en 1954, basado en la teoría del balance social del psicólogo Fritz Heider. Harary proponía describir las relaciones en una red cuyos nodos (puntos) representan las entidades del sistema, y las aristas (uniones entre puntos), que llevan signos positivos o negativos, representan las relaciones entre dichas entidades. Las relaciones de alianza se identifican con un signo positivo (+) y aquellas de enemistad con un signo negativo (-). En este contexto un ciclo (es decir, una sucesión de relaciones que empiezan y acaban en el mismo elemento) es balanceado si el producto de sus signos es positivo. Y si todos los ciclos de una red son balanceados, entonces la red lo es.
El resultado fundamental de su trabajo fue el teorema estructural del balance, que ofrece una manera de identificar las redes balanceadas sin tener que comprobar uno a uno todos sus ciclos. Según este teorema, una red con signos es balanceada siempre y cuando es posible partir su conjunto de vértices en dos partes. De tal forma que cada arista positiva conecta vértices del mismo subconjunto y las aristas negativas conectan vértices entre los dos subconjuntos.
Las relaciones de alianza
Por ejemplo, consideremos las alianzas y conflictos entre las principales potencias europeas a finales del siglo XIX y principios del XX, representadas en la imagen inferior. Las relaciones de alianza se han representado en color azul y las de enemistad en rojo. Aplicando el teorema anterior puede determinarse que solo con la alianza Anglo-Rusa de 1907 en la que Gran Bretaña, Rusia y Francia formaron una triple-alianza y Alemania, el imperio Austro-Húngaro e Italia formaron otra, ambas enfrentadas entre sí, se logró que este sistema fuera balanceado. Este balance permanecía en 1914 cuando estalló la Primera Guerra Mundial (Figura 1).
Más allá de decidir si una red es o no balanceada, también es posible cuantificar su grado de balance, como estudió el propio Harary. Se han propuesto diversas medidas, pero la mayoría requieren de aproximaciones computacionales o no tienen en cuenta todos los ciclos de la red. En 2014, el autor de este artículo y el matemático Michele Benzi propusieron una caracterización cuantitativa del grado de balance de una red. Esta medida está basada en el cálculo del espectro de la red.
Para hacerlo, la red se representa en forma de una tabla cuyas entradas pueden ser +1. Si los pares de nodos correspondientes tienen una relación positiva; -1, si la tienen negativa y cero, si no tienen relación. Usando métodos del álgebra lineal se descompone esta tabla en lo que se llama su espectro de valores propios. Aplicando un teorema matemático, sabemos que si partimos de una red inicial balaceada. Su espectro es idéntico al de la red que se obtiene al transformar la red, cambiando cada valor negativo por uno positivo. El índice de balance cuantifica precisamente cuan alejado está el espectro de una red al de la red en la que todas las relaciones son positivas. Por tanto, su valor es uno si la red es balanceada y se aproximará a cero en la medida que la red sea cada vez menos balanceada.
La hipótesis de Fritz Heider
Esta caracterización ha permitido descubrir que muchas redes del mundo real están muy lejos del balance, en contra de la hipótesis de Fritz Heider, que proponía que los sistemas sociales tenderían al balance. Por ejemplo, la red de alianzas y conflictos entre las tribus que habitan la región de Gahuku-Gama en Papúa Nueva Guinea tiene un grado de balance de aproximadamente 1/3. Otras redes, como la que forman las votaciones para elegir a los administradores de Wikipedia. En las que las conexiones son positivas si ambos votantes votan a favor del mismo candidato, y negativas si lo hacen en contra, tiene un balance de 0.00001.
También se aplicaron estas ideas para analizar las redes de alianzas y conflictos entre las diferentes naciones del mundo entre los años 1938 y 2008. Con que datos fueron aportados por el investigador Zeev Maoz. Los resultados indican (ver Fig. 2) que el mundo no se dirige a un estado de balance. Además, se observa que los períodos de alto grado de balance fueron casi siempre seguidos por conflictos armados de gran envergadura. Es como si los balances de fuerza dieran la confianza a las partes a ensalzarse en la lucha contra los otros. Y por tanto, quizá debamos evitarlos. Quizá el bajo grado de balance existente en el año 1962 obligó a las partes a encontrar una solución a la crisis de los misiles de Cuba.
Ernesto Estrada es profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Física Interdisciplinar y Sistemas Complejos, en la Universidad de las Islas Baleares en Palma de Mallorca.
