Números de Dyson

Con paciencia y ordenador, un lector recientemente incorporado a nuestro plantel de sagaces comentaristas, Mensajero Utópico, ha encontrado un montón de Repfigit (Repetitive Fibonacci-like digit) o números de Keith, de los que nos ocupamos la semana pasada. He aquí algunos:

Repfigit de 2 dígitos:

14: 1, 4, 5, 9, 14

19: 1 ,9, 10, 19

28: 2, 8, 10, 18, 28

47: 4, 7, 11, 18, 29, 47

61: 6, 1, 7, 8, 15, 23, 38, 61

75: 7, 5, 12, 17, 29, 46, 75

Repfigit de 3 dígitos:

197: 1, 9, 7, 17, 33, 57, 107, 197

742: 7, 4, 2, 13, 19, 34, 66, 119, 219, 404, 742

Repfigit de 4 dígitos:

1.104: 1, 1, 0, 4, 6, 11, 21, 42, 80, 154, 297, 573, 1104

1.537: 1, 5, 3, 7, 16, 31, 57, 111, 215, 414, 797, 1.537

2.208: 2, 2, 0, 8, 12, 22, 42, 84, 160, 308, 594, 1.146, 2.208

2.580: 2, 5, 8, 0, 15, 28, 51, 94, 188, 361, 694, 1.337, 2.580

3.684: 3, 6, 8, 4, 21, 39, 72, 136, 268, 515, 991, 1.910, 3.684

4.788: 4, 7, 8, 8, 27, 50, 93, 178, 348, 669, 1.288, 2.483, 4.788

7.385: 7, 3, 8, 5, 23, 39, 75, 142, 279, 535, 1.031, 1.987, 3.832, 7.385

7.647: 7, 6, 4, 7, 24, 41, 76, 148, 289, 554, 1.067, 2.058, 3.968, 7.647

7.909: 7, 9, 0, 9, 25, 43, 77, 154, 299, 573, 1.103, 2.129, 4.104, 7.909

(Para un listado completo de Repfigit de hasta 9 dígitos, ver comentarios de la semana pasada).

Como vimos, no hay ningún algoritmo que permita generar números de Keith de forma rápida, y los más grandes hay que buscarlos mediante la fuerza bruta de potentes ordenadores, pues su distribución no sigue ninguna pauta reconocible; en este sentido se parecen a los primos, pero son mucho más escasos: solo hay 52 Repfigit de menos de 15 dígitos. Y, curiosamente, no hay ninguno de 10 dígitos.

Su descubridor, el matemático e informático estadounidense Michael Keith, cree que hay infinitos Repfigit; pero su conjetura todavía no ha sido demostrada (ni refutada).

Siguiendo con las secuencias “Fibonacci-like”, consideremos la siguiente:

0.1

0.01

0.002

0.0003

0.00005

0.000008

0.0000013

0.00000021

….

Como se puede ver, está formada a partir de los términos de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…), de manera que la última cifra del término n ocupa su enésimo lugar decimal. Si sumamos los términos así generados, obtenemos 0.1123595…, y, curiosamente, 10/89 = 0,1123595…

¿Se mantiene la igualdad a medida que vamos avanzando en el desarrollo de esta sucesión “fibonacciana”? ¿Qué tiene de especial el número 89, y qué otra relación guarda con la sucesión de Fibonacci?

Al hablar de números “extraños” e infrecuentes, como los Repfigit, no se puede dejar de mencionar los números parásitos, también llamados números de Dyson en honor del gran físico y matemático británico Freeman Dyson, que son aquellos que al multiplicarlos por la cifra de las unidades se convierten en un número con los mismos dígitos, pero con la cifra de las unidades trasladada al primer lugar de la izquierda; por ejemplo:

102.564 x 4 = 410.256

Si el multiplicador que produce la rotación de cifras no es el dígito de las unidades, el número se denomina seudoparásito; por ejemplo:

179.487 x 4 = 717.948

Los números de Dyson están emparentados con los cíclicos. Un número cíclico es aquel cuyas permutaciones cíclicas son múltiplos suyos; por ejemplo:

142.857 × 2 = 285.714

142.857 × 3 = 428.571

142.857 × 4 = 571.428

142.857 × 5 = 714.285

142.857 × 6 = 857.142

Invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar más números parásitos, seudoparásitos y cíclicos.