Los problemas de la semana pasada se prestan a una sencilla y eficaz generalización: siempre que un objeto parte de una determinada altura y llega hasta el suelo por acción de la gravedad, podemos calcular la velocidad a la que “aterriza” sin más que tener en cuenta que, por la ley de la conservación de la energía, su energía cinética ha de ser igual a la energía potencial que tenía en la posición de partida, independientemente del camino que haya seguido para llegar al suelo (y siempre, claro está, que no haya una pérdida significativa de energía por rozamiento, rotación o resistencia del aire).
En el caso del huevo, puesto que está a una altura de 10 metros sobre el suelo (8 correspondientes a la fachada de la casa y 2 al tejado), su energía potencial es 10mg (siendo m la masa del huevo y g la gravedad) y su energía cinética es mv²/2; igualando ambas energías:
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10mg = mv²/2
v = √20g = 14 m/s
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El de la cuerda es un poco más complicado, pues hay un tramo vertical de 2 metros cuyo centro de gravedad está a 7 metros del suelo y un tramo inclinado de 4 metros cuyo centro de gravedad está a 9 metros del suelo. Y en el momento en que el extremo inferior de la cuerda toca tierra, tenemos un único tramo vertical de 6 metros cuyo centro de gravedad está a 3 metros del suelo. Al igualar la energía potencial y la cinética, la masa de la cuerda desaparece de la ecuación, por lo que podemos considerar que su densidad es 1 y que la longitud de cada tramo equivale a su masa; por lo tanto:
2(7-3)g + 4(9-3)g = 6v²/2
v = 10.2 m/s
Pero ¿por qué la energía potencial de un cuerpo a una altura h es mgh? Porque, por la ley de la conservación de la energía, es igual al trabajo necesario para subir ese cuerpo de masa m a una altura h, y el trabajo (W, del inglés Work) es igual a la fuerza aplicada por la distancia recorrida:
W = F.d
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Cuando se eleva un cuerpo de masa m a una altura h, la distancia recorrida es dicha altura y la fuerza aplicada es igual al peso del cuerpo, mg, de ahí la fórmula Eᵖ= mgh.
La fórmula de la energía cinética, Eᶜ = mv²/2, se obtiene mediante consideraciones similares. Sabiendo que el espacio recorrido por un cuerpo que cae durante un tiempo t es gt²/2, invito a mis sagaces lectoras/es a demostrar la fórmula de la energía cinética. Obsérvese que, al contrario de la energía potencial, la energía cinética es independiente de la gravedad (o, en general, de la aceleración): lo único que cuenta es la velocidad del cuerpo en el momento de determinar dicha energía.
Una fórmula luminosa
Las consideraciones anteriores se basan en la ley de la conservación de la energía; pero con la irrupción de la relatividad, a principios del siglo pasado, dicha ley -así como su complementaria, la ley de la conservación de la materia- se ha de matizar teniendo en cuenta la equivalencia materia-energía.
Incluso los lectores sin conocimientos de física habrán observado la similitud de la fórmula Eᶜ = mv²/2 con la más famosa de todas las fórmulas: E = mc², donde c es la velocidad de la luz y E el equivalente en energía de un cuerpo de masa m, equivalencia que explica la enorme liberación de energía que supone la destrucción de una pequeña cantidad de materia en una reacción nuclear. ¿Qué lectura “ingenua” (pero interesante) podría hacer de la fórmula de Einstein alguien que la viera por primera vez y desconociera la relatividad?
Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.
